証明から学ぶ二項分布
Jikao
2023-02-15
ベルヌーイ試行
ベルヌーイ試行とは、\(p\)の確率で成功、\(1-p\)の確率で失敗する試行を指す。 ベルヌーイ試行の例として、以下のようなものが挙げられる。
・コインを投げて、表が出た時を成功とする試行
・感染者と接触して、病気に感染するかどうか調べる試行
・マックをドカ食いして、気絶するかどうか調べる試行
二項分布
確率\(p\)で成功するベルヌーイ試行を\(n\)回行うとき、成功する回数を確率変数\(X\)とみると、\(X\)は二項分布に従う。
\(X=x, 0\leq{}x\leq{}n\) となる確率\(f(x)\)は(0から\(n\)までの成功回数となる確率は)、反復試行の確率を用いて以下のように表される。
\[ f(x)=\dbinom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \] \(f(x)\)の概形は、以下のように表される。
ここをクリックして\(n\)と\(p\)を変えてみよう。
確率分布であることの証明
確率分布であるには
・\(x\)がどのような値でも、\(f(x)\)は0より大きい(\(\forall{}x\in{}X, f(x)\geq0\))。
・全ての\(f(x)\)を足すと、合計1になる(\(\sum_{x\in{}X} = 1\))。
1番目は確率密度関数から自明であるため、2番目を示す。
\[ \sum_{x=0}^{n}f(x) = \sum_{x=0}^{n}\dbinom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \]
ここで、二項定理
\[ (a + b)^n = \sum_{x=0}^{n}\dbinom{n}{x}a^kb^{n-x} \]
より確率の和は
\[\begin{eqnarray} \sum_{x=0}^{n}\dbinom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} &=& (p + 1-p)^n\\ &=& 1 \end{eqnarray}\]従って、二項分布の確率密度関数は常に正で、確率の和が1になることから、確率分布であるといえる。
二項分布のモーメント母関数
モーメント母関数は
\[ M_X(t) = E[e^{tX}] \]
であった。したがって、二項分布のモーメント母関数は
\[\begin{eqnarray} M_X(t) &=& \sum_{x=0}^{n}e^{tx}\dbinom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\\ &=& \sum_{x=0}^{n}\dbinom{n}{x}(e^tp)^x(1-p)^{n-x} \label{eq : mother_func_mid} \end{eqnarray}\]ここで、二項定理
\[ (a + b)^n = \sum_{x=0}^{n}\dbinom{n}{x}a^kb^{n-x} \]
に関して、\(a = e^tp\)、 \(b = 1-p\) と置いたものなので、二項定理より以下のように変形でき、これがモーメント母関数となる。
\[ M_X(t) = (e^tp + 1 - p)^n \]
二項分布の期待値と分散
二項分布の期待値と分散は、以下のように表される。
\[ E[X] = np\\ V[X] = np(1-p) \]
期待値と分散の証明
モーメント母関数を用いる。
モーメント母関数の0付近での1階微分が期待値\(E[X]\)となり、2階微分が\(E[X^2]\)となる。分散\(V[X]\)が \(V[X] = E[X^2]-E[X]^2\) と表されることに注意して
\[\begin{eqnarray} M_X^{'}(t) &=& n(e^tp + 1 - p)^{n-1}pe^t\\ M_X^{''}(t) &=& n(n-1)(e^tp + 1 -p)^{n-2}pe^t + n(e^tp + 1 - p)^{n-1}pe^t\\ M_X^{'}(0) &=& np\\ M_X^{''}(0) &=& n^2p\\ E[X] &=& np\\ V[X] &=& np(1-p) \end{eqnarray}\]となる。
二項分布の再生性
ある確率変数\(X\)が\(n, p\)を持つ二項分布に従うとき、よく\(X\sim{}Bin(n,p)\)と表記する。また、確率分布を特徴づける\(n, p\)をパラメータという。 二項分布には再生性がある。すなわち、確率変数\(X\)、\(Y\)がそれぞれ二項分布\(Bin(n,p)\)、\(Bin(m,p)\)に従うとき、2つの確率変数の和\(X+Y\)が二項分布\(Bin(n+m,p)\)に従う。
\[ X\sim{}Bin(n,p),Y\sim{}Bin(m,p)\Leftrightarrow{}X+Y\sim{}Bin(n+m,p) \]
再生性の証明
\(X\)と\(Y\)のモーメント母関数は以下のようになる。
\[\begin{eqnarray} M_{X}(t) &=& (e^tp+1-p)^{n}\\ M_{Y}(t) &=& (e^tp+1-p)^{m} \end{eqnarray}\]従って、\(X+Y\)のモーメント母関数は
\[\begin{eqnarray} M_{X+Y}(t) &=& M_X(t)M_Y(t)\\ &=& (e^tp+1-p)^{N+M} \end{eqnarray}\]これは\(Bin(n+m,p)\)なる二項分布に従う確率変数のモーメント母関数と同一である。 依って、\(X+Y\sim{}Bin(n+m,p)\)となる。
二項分布のパラメーターに関して、\(p\)がごく小さく、\(n\)が十分大きい場合は、 ポアソン分布 という新しい確率分布になる。